Wie hilft die z-Transformation von Fisher bei der Korrelationsanalyse?

Hallo! Als Lieferant von Fisher habe ich aus erster Hand gesehen, wie Fisher-Produkte und statistische Konzepte wie die z-Transformation von Fisher in verschiedenen Bereichen eine entscheidende Rolle spielen. Heute werde ich näher darauf eingehen, wie Fishers Z-Transformation bei der Korrelationsanalyse hilft.

Korrelationsanalyse verstehen

Lassen Sie uns zunächst ein wenig über die Korrelationsanalyse sprechen. Bei der Korrelation geht es darum, die Beziehung zwischen zwei Variablen zu messen. Wir verwenden einen Korrelationskoeffizienten, der normalerweise als (r) bezeichnet wird, um diese Beziehung zu quantifizieren. Der Wert von (r) liegt zwischen -1 und +1. Ein Wert von +1 zeigt eine perfekte positive lineare Beziehung an, -1 bedeutet eine perfekte negative lineare Beziehung und 0 bedeutet keine lineare Beziehung zwischen den Variablen.

Allerdings hat die Arbeit mit dem Korrelationskoeffizienten (r) ihre Grenzen. Ein Hauptproblem besteht darin, dass die Stichprobenverteilung von (r) nicht normal ist, insbesondere wenn die Stichprobengröße klein ist. Diese Nichtnormalität kann es schwierig machen, statistische Schlussfolgerungen wie Hypothesentests oder die Konstruktion von Konfidenzintervallen durchzuführen.

Geben Sie Fishers z-Transformation ein

Hier bietet sich die z-Transformation von Fisher an. Die Transformationsformel lautet (z=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + r}{1 - r}\right)), wobei (\ln) der natürliche Logarithmus ist.

Das Schöne an dieser Transformation ist, dass sie die nichtnormale Verteilung von (r) in eine annähernd normale Verteilung umwandelt. Diese Näherung wird mit zunehmender Stichprobengröße besser. Sobald wir eine normalverteilte Variable haben, können wir die bekannten Eigenschaften der Normalverteilung für statistische Analysen verwenden.

Hypothesentest

Nehmen wir an, wir möchten testen, ob der Korrelationskoeffizient in der Grundgesamtheit ((\rho)) einem bestimmten Wert entspricht. Beispielsweise möchten wir möglicherweise testen, ob (\rho = 0), was bedeuten würde, dass zwischen den beiden Variablen in der Grundgesamtheit keine lineare Beziehung besteht.

Ohne die z-Transformation kann das Testen dieser Hypothese aufgrund der Nicht-Normalität von (r) sehr mühsam sein. Aber wenn wir (r) in (z) transformieren, können wir einen einfachen z-Test verwenden. Der Standardfehler von (z) beträgt ungefähr (\frac{1}{\sqrt{n - 3}}), wobei (n) die Stichprobengröße ist.

Wir berechnen die z-Statistik für unsere Stichprobe (z_{sample}) mithilfe der Transformationsformel. Dann können wir es mit den kritischen Werten der Standardnormalverteilung vergleichen, um zu bestimmen, ob wir die Nullhypothese ablehnen sollten oder nicht.

Konfidenzintervalle

Ein weiterer wichtiger Aspekt der Korrelationsanalyse ist die Konstruktion von Konfidenzintervallen. Ein Konfidenzintervall gibt uns einen Wertebereich an, innerhalb dessen der wahre Populationskorrelationskoeffizient (\rho) wahrscheinlich liegt.

Um ein Konfidenzintervall für (\rho) zu erstellen, transformieren wir zunächst unseren Stichprobenkorrelationskoeffizienten (r) in (z). Dann berechnen wir das Konfidenzintervall für (z) mithilfe der Formel (z\pm z_{\alpha/2}\times\frac{1}{\sqrt{n - 3}}), wobei (z_{\alpha/2}) der kritische Wert aus der Standardnormalverteilung ist, der dem gewünschten Konfidenzniveau entspricht.

Nachdem wir das Konfidenzintervall für (z) haben, transformieren wir die Endpunkte mithilfe der Umkehrtransformation (r=\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}) zurück in die Korrelationskoeffizientenskala. Auf diese Weise erhalten wir ein Konfidenzintervall für (\rho), das die Nichtnormalität von (r) genauer berücksichtigt.

Praktische Beispiele in unseren Fisher-Produkten

Sehen wir uns nun an, wie dies mit unseren Fisher-Produkten zusammenhängt. Nimm dasFisher 655-Antrieb. Angenommen, wir möchten die Beziehung zwischen dem Eingangssignal zum Aktuator und der Ausgangsverschiebung analysieren. Wir sammeln Daten zu diesen beiden Variablen aus mehreren Tests.

Wir berechnen den Korrelationskoeffizienten (r) zwischen dem Eingangssignal und der Ausgangsverschiebung. Wenn wir jedoch Rückschlüsse auf die tatsächliche Korrelation in der Grundgesamtheit aller möglichen Tests ziehen möchten, verwenden wir die z-Transformation von Fisher.

Nehmen wir an, wir finden (r = 0,8) aus unserer Stichprobe. Wir transformieren es in (z=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + 0,8}{1 - 0,8}\right)\ approx1,099). Wenn unsere Stichprobengröße (n = 20) ist, beträgt der Standardfehler von (z) (\frac{1}{\sqrt{20 - 3}}\ approx0,243).

Wenn wir ein 95 %-Konfidenzintervall für (z) erstellen wollen, ist der kritische Wert (z_{\alpha/2}=1,96). Das Konfidenzintervall für (z) beträgt (1,099\pm1,96\times0,243=(0,62,1,58)). Wenn wir diese Endpunkte zurück in die Korrelationsskala umwandeln, erhalten wir das Konfidenzintervall für (\rho).

Ebenso für dieDigitaler Ventilregler Dvc2000, könnten wir an der Korrelation zwischen dem Sollwert und der tatsächlichen Ventilposition interessiert sein. Die z-Transformation von Fisher hilft uns, diese Beziehung genauer zu analysieren und zuverlässige Schlussfolgerungen zu ziehen.

DerFisher 846-Geberist ein weiteres Produkt, bei dem eine Korrelationsanalyse mit Z-Transformation nützlich sein kann. Wir könnten die Korrelation zwischen der physikalischen Eingangsgröße (wie Druck) und dem elektrischen Ausgangssignal untersuchen. Durch die Verwendung der z-Transformation von Fisher können wir die Beziehung besser verstehen und Entscheidungen auf der Grundlage statistischer Beweise treffen.

Fazit und Aufruf zum Handeln

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die z-Transformation von Fisher ein leistungsstarkes Werkzeug in der Korrelationsanalyse ist. Dadurch wird das Problem der Nichtnormalität des Korrelationskoeffizienten (r) überwunden, sodass wir Hypothesentests durchführen und Konfidenzintervalle genauer konstruieren können.

Unabhängig davon, ob Sie mit unseren Fisher-Produkten wie dem Stellantrieb Fisher 655, dem digitalen Ventilregler Dvc2000 oder dem Wandler Fisher 846 arbeiten, kann das Verständnis und die Anwendung der z-Transformation von Fisher zu einer besseren Datenanalyse und Entscheidungsfindung führen.

Wenn Sie am Kauf unserer Fisher-Produkte interessiert sind oder sich darüber unterhalten möchten, wie diese statistischen Konzepte in Ihren spezifischen Nutzungsszenarien angewendet werden können, zögern Sie nicht, uns zu kontaktieren. Wir sind hier, um Ihnen dabei zu helfen, das Beste aus unseren hochwertigen Produkten und den neuesten statistischen Techniken herauszuholen.

Referenzen

• Fisher, RA (1915). Häufigkeitsverteilung der Werte des Korrelationskoeffizienten in Stichproben aus einer unbegrenzt großen Grundgesamtheit. Biometrika, 10(4), 507 - 521.
• Glass, GV, & Hopkins, KD (1996). Statistische Methoden in Pädagogik und Psychologie. Allyn & Bacon.